Himpunan
Sekumpulan objek disebut himpunan dan objeknya disebut unsure atau anggota himpunan. Himpunan dapat didefinisikan dengan tiga cara : (1) deskripsi secara lisan (verbal) (2) mendaftar anggota-anggotanya dengan tanda kurung (“{“ dan “}”) untuk menutup daftar dan (3) notasi pembentuk himpunan. Contoh , deskripsi verbal “himpunan semua Negara bagian AS yang berbatasan dengan Samudra Pasifik” dapat dinyatakan dengan dua cara yang lain sebagai berikut:
Mendaftar : {Alaska,california,hawaii,oregon,washington}
Pembentuk himpunan :{x│x adalah negara bagian AS yang berbatasan dengan samudra pasifik} (notasi pembentuk himpunan ini dibaca :” himpunan semua x sedemikian sehingga x adalah Negara bagian AS yang berbatasan dengan samudera pasifik).
Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar seperti A, B , C dan lainnya. Simbol “∈dan ∉” digunakan untuk mengindikasikan bahwa suatu objek adalah anggota atau bukan anggota dari himpunan. Sebagai contoh, jika S menyatakan himpunan dari semua Negara bagian AS yang berbatasan dengan Samudra pasifik maka Alaska ∈S dan Michigan ∉ S .Himpunan tanpa anggota disebut himpunan kosong dan dinotasikan dengan {┤} atau symbol ∅ .Himpunan semua Negara bagian AS yang berbatasan dengan Antartika adalah himpunan kosong.
Dua himpunan A dan B sama , ditulis A = B , jika dan hanya jika tepat memiliki anggota yang sama. Dengan kata lain , dua himpunan, A dan B sama jika setiap unsure di A juga di B. Jika A tidak sama dengan B , ditulis A≠B.
Definisi
Korespondensi satu-satu
Suatu korespondensi 1-1 antara dua himpunan A dan B adalah pasangan dari elemen di A dengan elemen di B sehingga masing-masing elemen A berhubungan dengan tepat satu dengan anggota B dan sebaliknya. Jika terdapat korespondensi 1-1 antara himpunan A dan B , ditulis A~B dan disebut A dan B ekuivalen.
Himpunan bagian dari suatu himpunan : A⊆B
Himpunan A disebut menjadi subset dari B, ditulis A⊆B jika dan hanya jika setiap unsure A juga merupakan unsure di B.
{a,b,c}⊆{a,b,c,d,e,f} ,selain itu {a,b,c} ⊈{a,b,d} karena c pada himpunan {a,b,c} tetapi tidak pada himpunan {a,b,d}. Menggunakan alasan yang sama, kita dapat mengargumenkan bahwa ∅ ⊆A untuk semua himpunan A karena tidak mungkin untuk menemukan unsure pada ∅ yang tidak terdapat pada A.
Jika A⊆B dan B memiliki suatu unsure yang tidak terdapat di A , kita tulis A⊂B dan disebut bahwa A adalah proper subset(subset sejati) dari B. Jadi {a,b}⊂{a,b,c} ,karena {a,b}⊆{a,b,c} dan c terdapat pada himpunan kedua tetapi tidak terdapat pada himpunan pertama.
Operasi-operasi pada himpunan
Dua himpunan A dan B yang tidak memiliki elemen bersama disebut himpunan terpisah/saling lepas (disjoint).Himpunan {a,b,c} dan {d,e,f} adalah disjoint( saling lepas) , sedangkan {x,y} dan {y,z} tidak saling lepas karena y adalah unsure bersama.Banyak cara membentuk himpunan baru dari dua atau lebih himpunan.Operasi-operasi pada himpunan berikut akan sangat berguna dalam memperjelas pemahaman kita terhadap bilangan bulat dan operasinya.
Gabungan dari himpunan : A∪B
Gabungan dari dua himpunan A dan B , ditulis A∪B, adalah himpunan yang terdiri atas semua elemen yang termasuk dalam A atau B ( atau keduanya). Jelasnya, A∪B dibentuk dengan meletakkan semua unsure-unsur A dan B bersama-sama. Contoh :
{a,b}∪{c,d,e}= {a,b,c,d,e}
{m,n,q}∪{m,n,p}= {m,n,p,q}
Irisan dari himpunan : A∩B
Irisan dari himpunan A dan B , ditulis A∩B , adalah himpunan dari semua unsure bersama A dan B. Contoh :
{a,b,c}∩{b,d,f}={b}
{a,b}∩{c,d}=∅ ,karena tidak ada unsure bersama pada kedua himpunan.
Relasi dan Fungsi
Jelaskan relasi yang mungkin antara dua himpunan pada gambar di samping kanan.Jelaskan juga bagaimana pasangan bilangan yang mungkin .Bandingkan jawabanmu dengan jawaban temanmu.Apakah kesamaan dan perbedaan antara kedua relasi?
Relasi dan fungsi menjadi pusatnya matematika.Relasi secara sederhana dideskripsikan sebagai hubungan antara du himpunan.Fungsi, akan dideskripsikan selanjutnya di bagian ini yang merupakan bentuk relasi khusus.
Relasi
Hubungan antara objek atau bilangan dapat di analisis menggunakan ide-ide dari teori himpunan.Sebagai contoh, pada himpunan {1,2,3,4}, kita dapat menyatakan hubungan “ a adalah pembagi dari b “ dengan mendaftar semua pasangan berurutan (a, b) yang menjadikan hubungan tersebut benar, yaitu {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)} .Di bagian ini kita belajar sifat-sifat fungsi.
Relasi –relasi yang biasanya digunakan dalam matematika menyatakan hubungan antara dua objek atau bilangan.Sebagai contoh, ketika kita mengatakan “3 lebih dari 7” , “2 adalah factor dari 6 “,dan segitiga ABC sama dengan segitiga DEF, kita menyatakan hubungan antara pasangan bilangan pada dua kasus pertama dan segitiga dalam kasus terakhir.Lebih umumnya, konsep relasi dapat diterapkan pada sebarang himpunan.Suatu himpunan pasangan berurutan dapat digunakan untuk menunjukkan pasangan tertentu dari objek yang berhubungan. Sebagai contoh, himpunan {(Hawaii,50),(Alaska,49),(New Mexico,48)} adalah daftar dari tiga kota termuda dari Negara bagian AS dan nomor urutan mereka sebagai Negara bagian.Relasi ini secara lisan dapat disebutkan sebagai”----urutan Negara bagian----yang bergabung dengan AS” , sebagai contoh, “Alaska adalah Negara bagian ke 49 yang bergabung dengan AS.
Secara diagram cara untuk menotasikan hubungan adalah melalui penggunaan diagram panah. Sebagai contoh dalam gambar 2.35, masing-masing panah dapat dibaca”___wakil presiden__” yang mana anak panah itu mengarah pada presiden. Ketika suatu relasi dapat dinyatakan pada himpunan tunggal, suatu anak panah dapat digunakan pada himpunan dengan dua cara.Sebagai contoh, relasi “factor dari” pada himpunan {2,4,6,8} mewakili dua cara ekuivalen pada gambar 2.36, menggunakan satu himpunan di bagian (a) dan dua salinannya pada himpunan di bagian (b). Keuntungan menggunakan dua himpunan dalam diagram panah adalah relasi antara dua himpunan berbeda dapat digambarkan, seperti kasus pada Negara bagian termuda (gambar 2.37).
Secara formal, suatu relasi R dari himpunan A ke himpunan B adalah subset (himpunan bagian dari A×B . Jika A = B kita sebut bahwa R adalah relasi pada A. Pada contoh kita tentang himpunan bagian, himpunan A terdiri dari tiga Negara bagian termuda dari AS dan B terdiri dari bilangan 48, 49, dan 50.Dalam paragraph terdahulu , “ suatu factor dari” , himpunan A dan B adalah sama, yaitu , himpunan {2,4,6,8}. Relasi terakhir ini diwakili oleh himpunan pasangan berurutan berikut .
R = {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(4,4),(4,8),(6,6),(8,8)}.
Catatan bahwa R adalah subset dari {2,4,6,8}×{2,4,6,8}.
Dalam kasus relasi R pada himpunan A , yaitu, dimana R⊆A×A , yang memenuhi tiga sifat penting dari relasi.
Sifat Refleksif Suatu relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) ∈R untuk semua a∈A. Kita sebut bahwa R adalah refleksif jika setiap anggota/unsure dari A ber-relasi/berhubungan dengan dirinya sendiri. Sebagai contoh, relasi “ suatu factor dari “ pada himpunan A = {2,4,6,8} adalah refleksif , karena setiap bilangan di A adalah factor dari dirinya sendiri. Pada umumnya, dalam diagram panah, suatu relasi adalah refleksif jika setiap unsure di A memiliki suatu anak panah mengarah pada dirinya sendiri.( gambar 2.38)
Sifat Simetris Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan simetri jika bilamana (a,b) ∈ R maka juga (b, a) ∈ R , dengan kata lain jika a ber-relasi dengan b maka b juga ber-relasi dengan a. Misal R relasi “ kebalikan dari” pada himpunan A = {1,-1,2,-2}. Maka R = {(1,-1),(-1,1),(2,-2),(-2,2)}; yaitu R adalah semua pasangan bilangan (a, b) yang mungkin dari A×A jika a adalah kebalikan dari b. Diagram panah dari relasi ini ditunjukkan dalam gambar 2.39.
Perlu dicatat bahwa suatu relasi menjadi simetris, bilamana suatu anak panah yang searah .Dengan demikian relasi “kebalikan” adalah simetri pada himpunan {1,-1,2,-2}. Tetapi relasi “factor dari” pada himpunan {2,4,6,8} adalah tidak simetri karena 2 adalah factor dari 4, tetapi 4 bukan factor dari 2. Fakta ini dapat dilihat pada gambar 2.36 (a) , karena arah panah dari 2 ke 4 tetapi tidak berlaku sebaliknya.
Sifat Transitif Suatu relasi R pada himpunan A adalah transitif bilamana (a,b) ∈R dan (b,c) ∈R maka ( a, c) ∈R. Dengan kata lain , suatu relasi adalah transitif jika untuk semua a , b , c di A , jika a ber-relasi dengan b dan b ber-relasi dengan c maka a ber-relasi dengan c. Perhatikan relasi “factor dari “ pada himpunan {2,4,6,8,12}. Catat bahwa 2 adalah factor dari 4 dan 4 adalah factor dari 8 dan 2 adalah factor dari 8. Selain itu, 2 adalah factor dari 4 dan 4 adalah factor dari 12 dan 2 faktor 12 . {1,2,…,40}Kasus terakhir mengenai 2 , 6 dan 12 adalah benar. Dengan demikian “ factor dari “ adalah relasi transitif pada himpunan {2,4,6,8,12}. Pada suatu diagram panah , suatu relasi adalah transitif bilamana suatu “a ke b” dan “b ke c “ maka “a ke c” (gambar 2.40)
Sekarang perhatikan relasi “ memiliki satu angka yang sama” pada himpunan. Lebih jelasnya, setiap bilangan memiliki satu angka yang sama dengan dirinya sendiri jadi relasi ini refleksif, juga simetris dan transitif. Semua relasi pada himpunan yang refleksif, simetris dan transitif disebut relasi ekuivalen. Jadi relasi “ memiliki satu angka yang sama “ adalah relasi ekuivalen pada himpunan {1,2,…,40}. Terdapat banyak relasi ekuivalen di matematika.Lazimnya, “sama dengan “ pada himpunan bilangan dan “kongruen dengan “ dan “sama dengan” pada himpunan bentuk-bentuk geometri.
Sifat penting pada relasi ekuivalen R pada himpunan A adalah relasi yang memberikan bagian-bagian atau pemisah-pemisah pada himpunan A kedalam sekumpulan himpunan tak kosong,sebagai irisannya (irisan semua dua himpunan bagian adalah ∅) .Sebagai contoh, jika bilangan ber-relasi satu sama lain dalam paragraph sebelumnya dikumpulkan menjadi himpunan, relasi R pada himpunan {1,2,3,…,40} dinyatakan dengan himpunan tak kosong berikut,
{{1,11,21,31},{2,12,22,32},…,{10,20,30,40} }
Dengan demikian , semua anggota yang memiliki angka yang sama dikelompokkan bersama.
Secara formal, pemisahan himpunan A adalah sekumpulan himpunan tak kosong , dengan kata lain irisan himpunan bagian dari A merupakan gabungan A. Ini dapat ditunjukkan bahwa setiap relasi ekuivalen pada himpunan A merupakan irisan tunggal dari A dan sebaliknya, setiap irisan A menghasilkan suatu relasi ekuivalen. Bagian terkait dengan relasi “memiliki bentuk yang sama” pada himpunan bangun-bangun ditunjukkan pada gambar 2.41. Perlu diperhatikan bahwa persegi digabungkan bersama karena memiliki bentuk yang sama.
Fungsi
Seperti yang dibahas di awal, fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi. Konsep fungsi dijelaskan dalam definisi berikut.
DEFINISI
Fungsi
Suatu fungsi adalah relasi yang memasangkan setiap anggota pada himpunan pertama ke suatu unsure/anggota pada himpunan kedua sedemikian sehingga tidak ada unsure pada himpunan pertama yang menunjuk pada dua unsure berbeda pada himpunan kedua.
Konsep fungsi dapat ditemukan pada kehidupan social dan matematika. Contoh sederhana dalam kehidupan sehari-hari meliputu 1) tiap-tiap orang menunjuk pada nomor jaminan sosialnya (jamsostek) 2) masing-masing barang di toko memiliki nomor bar code yang tunggal dan 3) masing-masing rumah memiliki alamat tunggal.
Sebagai contoh,kita dapat memeriksa bagian awal dalam bab ini, relasi yang didefinisikan sebagai “ factor dari “ adalah bukan fungsi karena 2 , pada himpunan pertama merupakan factor dari banyak bilangan dan ber-relasi dengan lebih dari satu bilangan pada himpunan kedua.
Notasi fungsi
Suatu fungsi , f, yang menghubungkan suatu elemen pada himpunan A ke himpunan B ditulis f:A→B. Jika a∈A maka notasi fungsi untuk elemen di B yang ditunjuk oleh a adalah f (a), dibaca “ f untuk a “ atau “f pada a” (gambar 2.44).
Penggambaran/penyajian Fungsi
Jika f menyatakan suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, himpunan A disebut domain dari f dan himpunan B disebut codomain.Fungsi ganda , f(n) = 2n, dapat didefinisikan hanya bilangan genap yang menjadi codomain dalam fungsi ini.Himpunan semua unsur-unsur dalam kodomain yang berpasangan dengan suatu unsure di domain disebut range dari fungsi . Fungsi ganda memiliki domain {1,2,3,…} , kodomain {1,2,3,…} dan range {2,4,6,…}. (gambar 2.45).Perlu dicatat bahwa range harus menjadi subset dari codomain. Selain itu, codomain dan range dapat sama. Sebagai contoh , jika A={a,i,u,e,o},B={1,2,3,4,5} dan fungsi g menghubungkan masing-masing huruf di A sesuai dengan abjadnya secara berurutan , sehingga g(a)=1 , g(e)= 2, g(i)=3, g(o)= 4 .Notasi g:A→B menyatakan A sebagai domain, B adalah kodomain dari fungsi g.
Fungsi sebagai diagram panah Karena fungsi adalah contoh dari relasi , fungsi dapat dinyatakan sebagai diagram panah apabila himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan terbatas dengan beberapa anggota. Untuk menjadi fungsi, setiap unsure di domain harus mengarah tepat satu dengan satu unsure di kodomain..Tidak semua anggota di kodomain ditunjuk oleh anak panah.
Fungsi sebagai table Fungsi pada gambar 2.46 dimana B = {1,2,3,4,5} dapat didefinisikan dengan menggunakan table. Perlu diperhatikan ketika suatu fungsi didefinisikan dengan cara ini mengakibatkan kodomain dan range sama yaitu B.
Fungsi sebagai pasangan berurutan Fungsi pada gambar 2.47 juga dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan {(a,1),(e,2),(i,3),(o,4),(u,5)}.Metode ini mendefinisikan fungsi dengan mendaftar pasangan berurutannya adalah praktis jika fungsinya terbatas. Fungsi yang memiliki domain tidak terbatas dapat didefinisikan dengan notasi pembentuk himpunan. Sebagai contoh fungsi kuadrat f:A→B, dimana A= B adalah himpunan bilangan bulat dan f(n)=n^2, adalah {(a,b)∥b= a^2,untuk semua a bilangan bulat} , yaitu himpunan semua pasangan berurutan dari bilangan bulat, (a,b) , dimana b = a2.
Fungsi sebagai grafik Pasangan berurutan dari fungsi dapat dinyatakan sebagai titik-titik pada system koordinat dimensi dua. Jelasnya, garis horizontal selalu digunakan untuk unru-unsur di domain pada fungsi dan garis vertical untuk kodomain.Sehingga pasanagn beriritan (x, f(x)) dirancang. Grafik terutama digunakan jika suatu fungsi terdiri dari beberapa pasangan berurutan tak terbatas.
